wo für jedes n, q_n \geq 2 und \epsilon_n(x) eine der Zahlen 0,1,...,q_n-1 ist. Im Gegensatz zu ihren früheren Untersuchungen (Zbl 088.25804) setzen die Verff. hier sum {1 \over q_n} < oo voraus. Dann hat man für fast jedes x\epsilon_n(x) ––> oo und \nu_k,n x = Card{r \geq n: \epsilon_r(x) = k} < oo (k = 1,2,...). Wird q_n \leq q_n+1 angenommen und setzt man noch m_n(x) = \sup_k \nu_k,n(x), m(x) = lim_n m_n(x), R_n = sum_{j = n}^oo {1 \over q_j}, so ist für ein ganzes s > 0 und für fast jedes x m(x) = s, wenn sum_{n = 1}^oo R_n^s-1 = oo, sum_{n = 1}^oo R_n^s < oo gilt. Hat man sum_{n = 1}^oo R_n^s = oo für jedes s, so ist m(x) = oo mit der Wahrscheinlichkeit 1. Ein entsprechend starkes Wachstum der Zahlen q_n hat zur Folge, daß die "Ziffern" \epsilon_n(x) für fast jedes x von einer Stelle an wachsen oder entsprechend stark wachsen. Es wird eine Bedingung aufgestellt dafür, daß für eine gegebene Folge natürlicher Zahlen k₁ < k₂ < ··· die Menge S(x) aller \epsilon_n (x) mit der Wahrscheinlichkeit 1 eine endliche bzw. unendliche Anzahl von k_j enthält. Die Dichte S(x) ist für fast jedes x gleich 0.
Andere Sätze beziehen sich auf die Abschätzung von \nu_k(x) = \nu_k,1(x) nach unten. Wesentlich in den Beweisen ist das Lemma von Borel-Cantelli, entweder in seiner klassischen oder in einer von den Verff. entsprechend verallgemeinerten Form.
Reviewer:  S.Hartman
Classif.:  * 11K55 Metric theory of other number-theoretic algorithms and expansions
Index Words:  number theory

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