Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 095.12202
Autor: Dvoretzky, A.; Erdös, Pál
Title: Divergence of random power series. (In English)
Source: Mich. Math. J. 6, 343-347 (1959).
Review: Es sei gn das System der Rademacher-Funktionen, und für eine beliebige Folge komplexer Zahlen an sei P(an) die Menge aller Potenzreihen der Gestalt (t,z) ––> sumn = 0oo gn(t) an zn, 0 \leq t < 1. Angeregt durch eine Arbeit von A. Dvoretzky (Zbl 074.12301) wird bewiesen: Sei cn \downarrow 0, cn > 0 und
limsupn ––> oo( sumj = 0n cj2/ log 1/cn ) > 0. Wenn |an| \geq cn, n = 0,1,2,..., dann divergieren fast alle P(an) überall auf |z| = 1.
[Bem. des Ref.: Damit wird auch (für |an| = 1/ \sqrt n) eine Fragestellung von J.P.Kahane, Zbl 090.35801 beantwortet.]
Die Bedingung sum |an|2 = oo reicht nicht aus, um diesen Satz zu beweisen. Es existiert nämlich eine monotone Folge an, welche diese Bedingung erfüllt, so daß fast alle P(an) auf jedem Bogen von |z| = 1 eine Menge von Konvergenzpunkten haben, die von der Mächtigkeit des Kontinuums ist. Die Konstruktion stützt sich auf folgendes Lemma: Für jedes \alpha < \beta und \epsilon > 0 kann man nur auf O(2n) Arten die Vorzeichen so wählen, daß
max\alpha \leq t \leq \beta max1 \leq m \leq n | sumj = 1m ± e2\pi ijt | > \epsilon \sqrt n.
Reviewer: L.Schmetterer
Classif.: * 40A30 Convergence of series and sequences of functions
30B20 Random power series (one complex variable)
Keywords: Rademacher function
Index Words: probability theory
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