Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 084.34102
Autor: Dowker, Yael Naim; Erdös, Paul
Title: Some examples in ergodic theory. (In English)
Source: Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 9, 227-241 (1959).
Review: Die Verff. konstruieren durch geschickte Anwendung eines klassischen Verfahrens [vgl. etwa P.R.Halmos, Lectures on Ergodic Theory (Zbl 073.09302), S. 30] Beispiele, durch die einige Fragen der Ergodentheorie im negativen Sinne entschieden werden.
1. m sei das eindimensionale Lebesguemaß \Omega = < 0,1 > , bn eine strikt monoton wachsend gegen 1 gehende Zahlenfolge und kn eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen. Es gibt eine ergodische m-treue Transformation T in \Omega und fast allen x in < 0,1 > je eine N(x) > 0, derart, daß Ttx \leq bn (t < kn, n \geq N(x)) gilt. Grob: T'x kommt 1 beliebig langsam nahe.
2. Auf \Omega gibt es zu jeder Zahlenfolge c1 \geq 0 mit sum ct = oo und zu jeder bezüglich m nichtsingulären ergodischen konservativen Transformation eine beschränkt meßbare Funktion f(x) mit int f dm = 0, derart, daß sumt = 1oo c1 f(T'x) auf keiner Menge positiven Maßes stochastisch konvergiert.
3. Sind T1,T2 m treue Abbildungen von \Omega' = < 0,oo) auf sich, so bilde man zu jeder meßbaren Funktion f(x) auf \Omega' die Funktionenfolge
Fn(x) = (sumt = 0n-1 f(T1t x) ) (sumt = 0n-1 f(T2t x) )-1 (soweit sinnvoll). Mit f(x) = 1 für x < 1, f(x) = 0 für x \geq 1 kann man durch passende Wahl von konservativen ergodischen T1, T2 = T1-1limsupn Fn(x) = oo, liminfn Fn(x) = 0 (m-fast überall) erreichen. Grob: T1-1 und T1 verhalten sich ziemlich unabhängig voneinander.
4. Durch eine einfache Anwendung des Ergodensatzes von E.Hopf [Ergodentheorie (Zbl 017.28301), S. 49,] erhält man für int f\, dm \ne 0 \ne int g\, dm die Relation limn {En(x) \over Gn(x)} = 1 (m-fast überall). Das in Nr. 3 durch Wahl von T1 zunächst für ein spezielles f erzwungene Verhalten von Fn(x) findet also für beliebige f mit int f \, dm \ne 0 statt.
5. Ist (\Omega'',B'',m'') ein normierter Maßraum und T eine bezüglich m'' nichtsinguläre ergodische Transformation in \Omega'', die kein m'' äquivalentes Maß invariant läßt, so gilt für zu m'' äquivalente normierte m1,m2 stets
limn (sumk = 0n-1 m1(Tk M) - sumk = 0n-1 m2(Tk M) ) = 0 (M in B''); dagegen kann man m1, m2, M in B'' stets so wählen, daß
(sumk = 0n-1 m1(Tk M))(sumk = 0n-1 m2(Tk M) )-1 ––> 1 gilt, im Gegensatz zu einer Vermutung von Hurewicz.
Reviewer: K.Jacobs
Classif.: * 47A35 Ergodic theory of linear operators
Index Words: functional analysis
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag