Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 084.05403
Autor: Erdös, Pál; Piranian, G.
Title: The topologization of a sequence space by Toeplitz matrices. (In English)
Source: Mich. Math. J. 5, 139-148 (1958).
Review: Gilt eine Beziehung yk = xk \xik+ konvergente Folge, wobei die Faktorfolge \xik langsam schwankt: |\xik-\xikr| ––> 0 für kr < k \leq kr+1 und r ––> oo mit geeigneten kr, so sagen die Verff., daß y die Folge x über kr nachäfft. Zu einer permanenten Matrix A kann man kr und nr so bestimmen, daß t = Ay stets s = Ax über nr nachäfft, wenn y die beschränkte Folge x über kr nachäfft. (Die kr und nr erhält man durch Stutzen von A.) Dieses Prinzip führt zu Aussagen über die Struktur von b-Wirkfeldern (die von den nach einem Verfahren limitierbaren beschränkten Folgen gebildet werden). Es gibt Verfahren A (vom Typus der Zweiermatrizen), die genau die y limitieren, die ein vorgegebenes x nachäffen. Auch kommt man so zu Matrizen, bei denen für jede limitierbare Folge die Menge der Häufungspunkte eine (möglicherweise entartete) Kreisscheibe ist.
Ist S ein geeignetes System von permanenten (verträglichen) Matrizen, so liefern deren b-Wirkfelder als Basis der offenen Mengen eine nichtseparierte Topologie in der Menge m der beschränkten Folgen. Man erhält übersichtlichere Verhältnisse, wenn man mittels der Äquivalenzrelation "x ~ y bedeutet yk = \lambda xk+ konvergente Folge" zum Raum m/L übergeht und daraus den Punkt C entfernt, der den konvergenten Folgen entspricht. Mann kann dann S so wählen, daß man eine Hausdorff-Topologie ohne isolierte Punkte bekommt. Die Verff. beschreiben verschiedene Eigenschaften dieser Topologie (Struktur der Umgebungsfilter und der offenen Mengen).
Reviewer: K.Zeller
Classif.: * 54A20 Convergence in general topology
Index Words: series, summability
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