Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 084.04503
Autor: Erdös, Pál; Urbanik, Kazimierz
Title: On sets which are measured by multiples of irrational numbers. (In English. RU summary)
Source: Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 6, 743-748 (1958).
Review: Bekanntlich hat jede Punktmenge A im Intervall [0,1], falls ihr Jordanscher Inhalt existiert, die Eigenschaft, daß für jede irrationale Zahl \xi die Menge der natürlichen Zahlen n mit n\xi in A (mod 1) eine von \xi unabhängige natürliche Dichte besitzt. Die Verff. betrachten die Klasse \Xi aller Mengen A\subseteq [0,1) mit dieser Eigenschaft und untersuchen das Auftreten nichtmeßbarer Mengen A in \Xi. Eine Klasse \Xi0 von Mengen A\subseteq [0,1) wird Basis bzw. schwache Basis der Klasse \Xi genannt, wenn es zu jeder Menge A in \Xi eine Menge B in \Xi0 so gibt, daß für alle bzw. für fast alle irrationalen \xi die Menge der natürlichen Zahlen n mit n\xi in A-B (mod 1) die natürliche Dichte Null hat; dabei ist A-B die symmetrische Differenz. Es wird bewiesen, daß die Menge aller in einer gegebenen Basis (bzw. schwachen Basis) von \Xi enthaltenen nichtmeßbaren Mengen die Mächtigkeit 22^{\aleph0} (bzw. wenigstens die Mächtigkeit 2\aleph1) hat. Die Beweise machen vom Auswahlaxiom Gebrauch.
Reviewer: B.Volkmann
Classif.: * 28A99 Classical measure theory
11B05 Topology etc. of sets of numbers
Index Words: number theory
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