Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 083.03903
Autor: Erdös, Pál; Scherk, P.
Title: On a question of additive number theory. (In English)
Source: Acta Arith. 5, 45-55 (1959).
Review: Seien A1,...,Ak (k \geq 2) Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen aus dem Intervall [0,n] mit 0 in \bigcap\lambda = 1k A\lambda derart, daß die Summenmenge A1+···+Ak alle Zahlen 0,1,...,n-1, nicht aber die Zahl n enthält. Verff. untersuchen das asymptotische Verhalten der Funktion fk(n) = max sum\lambda = 1k A\lambda(n), wobei (A1,...Ak) alle Mengensysteme mit den angegebenen Eigenschaften durchläuft. Der Fall k = 2 führt auf die wohlbekannte Schranke f2(n) = n-1. Für beliebiges k > 2 wird die Ungleichung kn/2 -(k+1)22k-3n(k-1)/k < fk (n) < kn/2 -{2-4-k/2 \over (k-1)!} n(k-1)/k hergeleitet. Der Beweis des linken Teiles gelingt durch explizite Angabe eines mit Hilfe von 2k-adischen Zifferndarstellung konstruierten Beispiels; der des rechten Teiles ist schwieriger und erfordert zwölf, zum Teil komplizierte Hilfssätze. Die Verff. sprechen die Vermutung aus, daß eine negative (das Wort "positive"auf S. 46, Z. 14 muß offensichtlich durch "negative" ersetzt werden) Zahl \betak mit fk(n) = kn/2+(\betak+o(1))n(k-1)/k existiert.
Reviewer: B.Volkmann
Classif.: * 11B13 Additive bases
Index Words: number theory
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag