Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 081.03901
Autor: Erdös, Pál
Title: Über eine Art von Lakunarität. (On some kind of lucunarity.) (In German)
Source: Colloq. Math. 5, 6-7 (1958).
Review: S. Hartman (Zbl 066.03202) betrachtet Mengen positiver ganzer, wachsend geordneter Zahlen, die folgende Lückenbedingung erfüllen: Es gibt ein natürliches m > 0 so, daß für alle natürlichen Zahlen l in M Sequenzen mn,mn+1,...,mn+l existieren mit mn+i+1-mn+l < m für alle i = 0,1,2,...,l-1. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so heiße M lückenhaft (lakunär). Vgl. hierzu auch W.Sierpinski (Zbl 067.27501).
Der Verf. beweist auf einfache und elementare Weise folgenden Satz: Es sei 1 < a1 < a2 < ··· eine Folge ganzer Zahlen: A(a1,a2,...) = A bezeichne die Menge aller derjenigen ganzen Zahlen, die durch kein ai teilbar sind. Dann ist A dann und nur dann lückenhaft, wenn eine unendliche Teilfolge ai1, ai2,... paarweise teilerfremder Zahlen in der Ausgangsfolge existiert.
Hiermit ist z.B. die Menge der quadratfreien Zahlen (man wähle a\i = pi2, pi Primzahl) eine lückenhafte Menge positiver Dichte (= 1/6 \pi2). Ebenfalls ist die Primzahlmenge lückenhaft, was schon Sierpinski (vgl. oben) gezeigt hatte.
Reviewer: H.Ostmann
Classif.: * 11B05 Topology etc. of sets of numbers
Index Words: number theory
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