Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 077.26303
Autor: Erdös, Pál
Title: Einige Bemerkungen zur Arbeit von A.Stöhr: ``Gelöste und ungelöste Fragen über Basen der natürlichen Zahlenreihe''. (Some remarks on the paper of A.Stöhr: ``Solved and unsolved questions on bases of the natural numbers''.) (In German)
Source: J. Reine Angew. Math. 197, 216-219 (1957).
Review: A. Stöhr untersucht in einer Arbeit (Zbl 066.03101) acht verschiedene Typen von Minimalbasen. Der Verf. greift den 7. Typus auf: B heißt Minimalbasis 7. Art, wenn B Basis h-ter Ordnung für die Menge aller nichtnegativen ganzen Zahlen ist und keine Basis h-Ordnung als echte Teilmenge enthält. der Verf. gibt einen neuen Beweis für das bereits von E.Härtter [J. Reine Angew. Math. 196, 170-204 (1956; Zbl 074.27305)] gefundene Resultat, daß die Gesamtheit solcher Basen von höchstens h-ter Ordnung die Mächtigkeit des Kontinuums besitzt.
Ferner beantwortet der Verf. die folgende in oben erwähnter Arbeit von Stöhr aufgeworfene Frage negativ: Ist, wenn P die Primzahlmenge und B eine beliebige Basis 2. Ordnung ist, die asymptotische Dichte von P+B positiv? Der Verf. konstruiert eine Basis {\germ B0} von 2. Ordnung, so daß P+B0 verschwindende natürliche Dichte besitzt.
Im letzten Teil seiner Arbeit beschäftigt sich der Verf. mit beständigen Basen h-ter Ordnung, eine Basis B = {b0 = 0, b1 = 1, b2, b3,...} heißt beständig, wenn für jede Menge {n0 = 0, n1 = 1, n2,...} von Indizes mit positiver Dichte die Teilmenge B' = {bn0, bn1, bn2,...} wieder Basis endlicher Ordnung ist. Es wird bewiesen: Es gibt ein nur von B und der Dichte \alpha der Indexmenge abhängiges l, so daß die Basisordnung von B' höchstens gleich l ist.
Reviewer: H.Ostmann
Classif.: * 11B13 Additive bases
Index Words: Number Theory
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