Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  072.04103
Autor:  Erdös, Pál; Fodor, G.
Title:  Some remarks on set theory. V. (In English)
Source:  Acta Sci. Math. 17, 250-260 (1956).
Review:  Sei E eine Menge der Mächtigkeit kardE = m; jedem x in E werde eine nicht-leere Teilmenge f(x) von E zugeordnet. Zwei verschiedeneElemente x,y aus E heißen unabhängig, wenn x\not in f(y) und y\not in f(x). Eine Teilmenge von E heißt frei, wenn sie aus einem einzigen Element besteht oder wenn je zwei verschiedene ihrer Elemente unabhängig sind. Abkürzungen: sum'F = \bigcupx in F f(x), prod'F = \bigcupx,y (f(x) \cap f(y)), wo x,y in F, x\ne y (F \subset E). Eine Menge F \subset E wird die Eigenschaft T({\germ q,p}) zugeschrieben, wenn kardsum'F = q und kardprod'F < p ist (für q \leq m, p \leq m). – F heißt abgeschlossen, wenn f(x) \subset F für x in F gilt. – Es soll stets kardsum'E = m vorausgesetzt werden. – Man wird, um Fragestellungen von Interesse zu erhalten, den f(x) gewisse Bedingungen auferlegen, etwa eine der folgenden:
(A) Es gibt ein n < m, so daß kard f(x) < n für alle x in E ist.
(B) Es gibt ein n < m, so daß man kard(f(x) \cap f(y)) < n für x\ne y, x,y in E hat.
(C) Für alle verschiedenen Paare x,y aus E gilt f(x) \not\subset f(y) und f(y) \not\subset f(x).
(D) Für jedes x in E hat die Menge aller y in E mit f(x) \cap f(y) \ne 0 eine kleinere Mächtigkeit als m.
Fragen: Impliziert eine der genannten Bedingungen die Existenz einer Menge F \subset E mit der Eigenschaft T({\germ q,p}) oder die Existenz von freien Mengen gewisser Mächtigkeiten? Hinsichtlich der Bedingung (A) sind diese Probleme in früheren Abhandlungen behandelt worden; die gegenwärtige ist unter anderem der Berücksichtigung der Bedingungen (B), (C) und (D) gewidmet.
Weitere Frage: Existiert auf Grund von (B) und der Voraussetzung kardf(x) < m für alle x in E stets eine freie Teilmenge von E mit der Mächtigkeit m? Ohne die allgemeine Kontinuumhypothese (= a.K.H.) wird allgemein für m \geq \aleph0 nur die Existenz einer freien Teilmenge der Mächtigkeit \aleph0 bewiesen. Ein weitergehendes Teilresultat wird mit den Sätzen 6 und 7 gegeben: Es existiert eine freie Teilmenge der Mächtigkeit m jedenfalls in folgenden Fällen: 1. m = \aleph1 und n < \aleph0; 2. m = \aleph\alpha+1, r = \aleph\alpha und n < r^*; 3. m singulär. In den Fällen 2. und 3. wird jedoch zum Beweis die a.K.H. benützt. Dabei bedeutet r^* (bei beliebigen r) die kleinste Kardinalzahl, für welche r als Summe von r^* Kardinalzahlen dargestellt werden kann, die kleiner als r sind; r (\ne 0) heißt singulär bzw. regulär, wenn r^* < bzw. = r ist.
Schließlich werden die beiden folgenden Fragen beantwortet: a) Impliziert die Bedingung (A) die Existenz einer echten abgeschlossenen Teilmenge von E mit der Mächtigkeit m? b) Impliziert (A) die Existenz zweier fast disjunkter abgeschlossener Teilmengen von E mit der Mächtigkeit m? [F1 und F2 heißen fast disjunkt, wenn kard(F1 \cap F2) < max (kardF1,kardF2) ist].
Die Antwort auf a) lautet bejahend, wenn es ein reguläres r mit \aleph0 < n \leq m gibt, und verneinend, wenn m > \aleph0 ist, einen singulären unmittelbaren Vorgänger hat und n als dieser Vorgänger gewählt wird. Unter der letzten Bedingung ist auch b) zu verneinen, während unter der ersten auch b) bejaht werden kann; zum Beweis der letzteren Aussage wird jedoch die a.K.H. benützt, wenn m (\ne \aleph\alpha+\omega) die Summe von n Kardinalzahlen ist, die < m sind (Sätze 17-20).
Reviewer:  W.Neumer
Classif.:  * 04A10 Ordinal and cardinal numbers; generalizations
Index Words:  Set Theory

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