Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 070.13806
Autor: Darling, D.A.; Erdös, Pál
Title: A limit theorem for the maximum of normalized sums of independent random variables. (In English)
Source: Duke Math. J. 23, 143-155 (1956).
Review: Es wird folgendes mit dem Satz vom iterierten Logarithmus zusammenhängende neue Theorem bewiesen: Für unabhängige X mit E(Xk) = 0. Str. (Xk) = 1 und gleichmäßig beschränkten dritten Momenten gilt für Un = max1 \leq k \leq n k- ½ Sk mit Sk = sum\nu = 1k X\nu, daß limn ––> oo P (Un < (2 log log n) ½+{log log n \over 2(2 log log n) ½}+{t \over (2 log log n) ½}) =
= \exp(-{1 \over et 2\pi ½}) ist. Der im einzelnen recht komplizierte Beweis erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird der Satz für normalverteilte Xk bewiesen, indem der sog. Uhlenbeck-Ornsteinsche Prozeß [ein Gaußscher und zugleich Markoffscher Prozeß mit E(X(t)) = 0 und E(X(t)X(s)) = \exp(-|t-s|)] herangezogen wird, für den mit tk = 1/2 log k gilt, daß {X(tk)} gleichverteilt mit Sk · k- ½ ist. Der Übergang zu beliebig verteilten Xk erfolgt durch den Nachweis, daß die Grenzverteilung unabhängig von der Xk-Verteilung existiert [sog. Erdös-Kacsches Invarianzprinzip, zuerst in Bull. Am. Math. Soc. 52, 292-302 (1946; Zbl 063.01274), angewandt].
Reviewer: D.Morgenstern
Classif.: * 60F05 Weak limit theorems
Index Words: probability theory
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