Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  064.30101
Autor:  Erdös, Pál; Turán, Pál
Title:  On the role of the Lebesgue functions in the theory of the Lagrange interpolation. (In English. RU summary)
Source:  Acta Math. Acad. Sci. Hung. 6, 47-66 (1955).
Review:  Unter den Dreiecksmatrizen A mit der n-ten Reihe 1 \geq x1n > x2n > ··· > xnn \geq -1 gibt es bekanntlich keine mit der Eigenschaft, daß die Lagrangeschen Interpolationspolynome

Ln(f,A) = sum\nu = 1n f(x\nu n) l\nu n (x,A)

für jedes in [-1,1] stetige f(x) dort gleichmäßig gegen f(x) konvergieren. Der Grund liegt im Verhalten der Konstanten

Mn(A) \equiv max-1 \leq x \leq 1 \lambdan (x,A) = max-1 \leq x \leq 1 sum\nu = 1n |l\nu n(x,A)|;

es ist nämlich für alle A stets limsupn ––> oo Mn(A) = +oo (G. Faber). Anderseits spielen die Funktionen \lambdan(x,A) auch bei der Konvergenztheorie der L-Interpolation eine wesentliche Rolle, denn für Mn(A) < c1 · n\beta, 0 < \beta < 1, und f(x) in Lip\gamma, \gamma > \beta konvergieren die Ln(f,A) in -1 \leq x \leq 1 gleichmäßig gegen f(x).
Die Verff. zeigen nun, daß eine vollständige Konvergenz-Divergenztheorie der L-Interpolation auf der Untersuchung der Zahlen Mn(A) allein nicht aufgebaut werden kann. Ist A(\beta) die Klasse aller A-Matrizen, für die mit beliebig kleinem, positivem \epsilon gilt:

limsupn ––> oo Mn(A) · n-\beta-\epsilon < c2(\epsilon),  limsupn ––> oo Mn(A)n-\beta+\epsilon > c3(\epsilon),

wachsen also grob gesagt die Mn(A) wie n\beta, so nennen die Verff. für ein festes \beta die Klasse Lip\gamma bezüglich der Matrizen A(\beta) "gut", wenn für alle A in A(\beta) und f in Lip\gamma die Ln (f,A) in [-1,1] gleichmäßig gegen f(x) gehen, und "schlecht" wenn es für alle A in A(\beta) ein f1 in Lip\gamma gibt, so daß die Ln(f1,A) für n ––> oo in [-1,1] nicht beschränkt sind. Für ein festes \beta, 0 < \beta < 1, sind alle Lip\gamma-Klassen mit \gamma < \beta / (\beta+2) schlechte Klassen für Matrizen A(\beta), alle Lip\gamma-Klassen mit \gamma > \beta sind gute Klassen. In beiden Fällen genügt die "grobe" Theorie, die sich auf die Betrachtung der Mn(A) stützt. Entscheidend ist nun, daß genau im Falle \beta / (\beta+2) < \gamma < \beta die Lip\gamma-Klasse bezüglich A(\beta) weder gut noch schlecht ist, so daß eine "feinere" Theorie benutzt werden muß die über das Verhalten der Mn(A) hinaus noch die weiteren Eigenschaften der Matrix A berücksichtigt. Die für die Theorie der L-Interpolation wichtige Arbeit ist Herrn L. Féjer zum 75. Geburtstag gewidmet.
Reviewer:  P.Heuser
Classif.:  * 41A05 Interpolation
Keywords:  Lip\gamma-class; L-interpolation; Lagrange interpolation polynomial
Index Words:  approximation and series expansion

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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