Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  056.27001
Autor:  Erdös, Paul
Title:  Some results on additive number theory. (In English)
Source:  Proc. Am. Math. Soc. 5, 847-853 (1954).
Review:  Nach G.G.Lorentz (Zbl 056.03902) gibt es zu jeder beliebigen unendlichen Menge A nichtnegativer ganzer Zahlen ebensolche Menge B mit den Eigenschaften
1. A+B enthält alle hinreichend großen natürlichen Zahlen,
2. die asymptotische Dichte von B istNull, genauer

B(n) < sumk = 1n {log A(k) \over A(k)}  (A(k) > 0; c = const > 0)    (*)

[A(n) bzw. B(n) bedeuten die Anzahlen der positiven Elemente von A bzw. B, die kleiner oder gleich n sind.]
Wählt man speziell für A die Primzahlmenge, so folgt aus (^*) B(n) = O(log3 n).
Der Verf. beweist, daß in diesem Spezialfall sogar Mengen B mit B(n) = O(log2 n) existieren.
Besitzt A positive asymptotische Dichte, so folgt aus (^*) leicht B(n) = O(log2 n). Der Verf. zeigt, daß dies Ergebnis allgemein nicht verbessert werden kann, indem er die Existenz von Mengen A mit positiver asymptotischer Dichte nachweist, so daß aus (A+B) \cap [N,oo) = [N,oo) für genügend großes N stets B > const · log2n folgt.
Abschließend greift der Verf. noch die von B.Volkmann (Zbl 048.03401) aufgeworfene Frage auf: "Gibt es pseudorationale Mengen A, B derart, daß A+B nicht pseudorational ist". Der Verf. zeigt, daß es solche Mengen gibt, und behandelt außerdem noch einige Modifikationen dieser Fragestellung [dieses Ergebnis ist jedoch nicht neu; ein auf M. Kneser zurückgehendes Beispiel gibt B.Volkmann (Zbl 056.05103) an].
Reviewer:  H.Ostmann
Classif.:  * 11B30 11B30
Index Words:  Number theory

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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