Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 056.05004
Autor: Bagemihl, F.; Erdös, Pál
Title: Intersections of prescribed power, type, or measure. (In English)
Source: Fundam. Math. 41, 57-67 (1954).
Review: Das von E. Bagemihl bewiesene allgemeine Durchschnittstheorem (Zbl 046.28004) wird nochmals verallgemeinert (Satz 1). Aus diesem Satz ergibt sich als Spezialfall u. a. ein von Sierpinski bewiesener Satz (Zbl 052.04802), welcher gleichzeitig von den Verff. gefunden worden war.
Die folgenden Sätze nehmen eine Orientierung jeder Geraden s der Ebene an. Satz 2. Jeder Geraden s werde ein endlicher oder abzählbarer Ordnungstypus \taus \ne 0,1 zugeordnet. Dann gibt es eine Punktmenge P der Ebene, welche mit jeder Geraden s einen Durchschnitt vom Typus \taus bildet.
Satz 3. Wie Satz 2, jedoch darf \taus \ne 0,1 der Typus einer beliebigen, der Größe nach geordneten Menge reeller Zahlen sein; überdies hat P\cap s stets das Maß 0. Zum Beweis wird die Hypothese 2\aleph0 = \aleph1 benutzt.
Satz 4. Jeder Geraden s werde eine reelle Zahl ms, mit 0 \leq m \leq oo zugeordnet. Dann gibt es eine Punktmenge P derart, daß P\cap s stets das Maß ms hat.
Satz 5. Wie Satz 3, jedoch ohne Maßbedingung. Der Beweis wird ohne Kontinuumhypothese geführt unter Verwendung einer Bemerkung von K. Gödel.
Reviewer: W.Neumer
Classif.: * 04A99 Miscellaneous topics in set theory
Index Words: Set theory
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