Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 055.06802
Autor: Erdös, Paul; Herzog, Fritz; Piranian, George
Title: On Taylor series of functions regular in Gaier regions. (In English)
Source: Arch. der Math. 5, 39-52 (1954).
Review: Die Verff. beschäftigen sich mit Funktionen f(z) = sum an zn, die in einem Kreis Ca|z+a| < 1+a(a > 0) regulär sind; Ca wird als "Gaier disc" (G.d.) bezeichnet. Der Ref. bewies (Zbl 047.31203, insbes. S. 327/328 der Arbeit): (1) Ist f(z) in Ca regulär und beschränkt, so gilt an = O(n- ½); (2) existiert ferner lim f(z) für z ––> 1 in Ca so gilt sogar an = o(n- ½). Daran anknüpfend beweisen die Verff. auf kunstvolle Art, daß O in (1) nicht allgemein durch o ersetzt werden kann, und behandeln dann den allgemeineren Fall, daß (3) (1-z)k f(z) für reelles k in einem G. d. beschränkt ist. Es ergibt sich hier an = O(nk-1) (k > 1); an = O(log n) (k = 1); an = O(n(k-1)/2) (k < 1); (4) darin kann O nicht allgemein durch o ersetzt werden, jedoch sicher dann, wenn k \leq 1 ist und lim (1-z)h f(z) für z ––> 1 in Ca existiert.
Sodann werden, wieder unter der Voraussetzung (3) Abschnitte der Form Sn = sumj = n2n |aj| wie folgt abgeschätzt:
Sn = O(nk) (k > ½); Sn = O(\sqrt{n log n}) (k = ½); Sn = O(nk/2+1/4) (k < ½); für k\ne ½ kann O nicht durch o ersetzt werden.
Auf ähnliche Weise werden einige Konvergenzaussagen gewonnen. Gilt(3) für ein k < - ½ (d. h. es ist f(z) = O((1-z)\alpha) (\alpha > ½) für z ––> 1 in Ca], so ist sum |an| < oo und sum n |an|2 < oo; die Aussage wird falsch für k = - ½. Gilt (3) für ein k < 0, so konvergiert sum an zn gleichmäßig auf | z | = 1, und auch dies wird falsch für k = 0.
Ist schließlich (1-z)k f(z) (k < 1) in einem Gebiet regulär und beschränkt, da |z| < 1 enthält und dessen Rand den |z| = 1 in z = 1 von der Ordnung p berührt (p \geq 1), so gilt allgemeiner als in (4) stets an = O(n(k-1)/p).
Reviewer: D.Gaier
Classif.: * 30B10 Power series (one complex variable)
41A58 Series expansions
Index Words: complex functions
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