Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 051.10303
Autor: Erdös, Pál; Hunt, G.A.
Title: Changes of sign of sums of random variables. (In English)
Source: Pac. J. Math. 3, 673-687 (1953).
Review: Seien x1,x2,... unabhängige stochastische Variablen, alle mit der gleichen stetigen symmetrischen Verteilung und sk = x1+···+xk. Die Verff. beweisen von der speziellen Verteilung der xi unabhängige Sätze über die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge s1, s2,...; Spezialfälle dieser Sätze unter Voraussetzung, daß xi Rademacher-Funktionen sind, wurden von P. Lévy bewiesen. – Nn bezeichne die Anzahl der Vorzeichenwechsel in s1, s2, ··· sn+1. Es sei \Phi (k) = {2 [k/2+1] \over k+1} {k \choose [k/2]}2-k. Dann gelten die Sätze
1) sumk = 1n {1 \over 2(k+1)} \leq E(Nn) \leq sumk = 1n \Phi (k).
2) Es gilt mit der Wahrscheinlichkeit 1 liminfn ––> oo {Nn \over log n} \geq 1/2 .
3) Für gewisse wohlbestimmte Teilfolgen s'1,s2',... gilt limn ––> oo {Nn \over E(N'n)} = 1.
4) Es gilt mit der Wahrscheinlichkeit 1 sumk = 1n {sgnsk \over k} = o(log n).
Die nicht einfachen Beweise für diese Sätze stützen sich auf gewisse Lemmata betr. die Kombinationen ± a1 ± a2 ± ··· an, wobei a1, a2,...,an positive Zahlen und die vorigen Summen alle voneinander verschieden sind.
Reviewer: W.Saxer
Classif.: * 60E05 General theory of probability distributions
Index Words: probability theory
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