Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 050.27003
Autor: Erdös, Pál
Title: On a conjecture of Hammersley. (In English)
Source: J. London Math. Soc. 28, 232-236 (1953).
Review: Es bezeichne sumn,s die s-te elementar-symmetrische Funktion der Zahlen 1,...,n f(n) sei der größte Wert von s; für den (bei festem n) sumn,s sein Maximum annimmt. J.M.Hammersley (Zbl 044.03902) zeigte f(n) = n-[\rho+ 1/2 +[\zeta(2)-\zeta(3)]/\rho+h/\rho2], \rho = log(n+1)+\gamma-3 (1) -1,1 < h < 1,5 wo \gamma die Eulersche Konstante und \zeta(s) die Riemannsche \zeta-Funktion bezeichnet, sowie
sumn,1 < ··· < sumn,f(n)-1 \leq sumn,f(n) > sumn,f(n)+1 > ··· > sumn,n (2.) Er vermutete, daß in (2) auch stets sumn,f(n)-1 \leq sumn,f(n) gilt, d. h. der Wert s, für den sumn,s bei gegebenem n sein Maximum annimmt, ist eindeutig bestimmt (und daher = f(n). Der Verf. beweist diese Vermutung. Hierzu zeigt er unter Verwendung des Primzahlsatzes für n > 10s sogar, daß alle sumn,s, 1 \leq s \leq n, voneinander verschieden sind. Weiter sei u1 < u2 < ··· eine Folge positiver reeller Zahlen, für die sumi u-1i divergiert und sumi u-2i konvergiert. Werden sumn,s und f(n) für die n ersten Zahlen dieser Folge wie oben definiert, so gilt analog zu (1): f(n) = n-[sumi = 1n ui-1 - sumi = 1oo u-2 (1+ui-1)-1+0(1)]. Der Verf. vermutet, daß für n \geq n0 = n0 ({ui)} auch hier das maximalisierende s eindeutig bestimmt ist, und bemerkt, daß diese Vermutung für den Fall, daß alle ui natürliche Zahlen sind und einer arithmetischen Progression angehören, zutrifft.
Reviewer: H.-E.Richert
Classif.: * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
05E05 Symmetric functions
Index Words: number theory
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