Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 047.30102
Autor: Erdös, Pál
Title: On a Tauberian theorem for Euler summability. (In English)
Source: Acad. Serbe Sci., Publ. Inst. Math. 4, 51-56 (1952).
Review: Sei E das Euler-Knoppsche Summierungsverfahren der Ordnung 1: E -sum0oo an = sumn = 0oo 2-n-1 sum\nu = 0n {n \choose \nu} a\nu. Satz 1: Es gibt eine Konstante A > 0, so daß (1) sum an konvergiert, wenn (1) eine E-summierbare Reihe, ni (i = 0,1,...) eine Indexfolge mit ni+1-ni > A \sqrt{ni} und an = 0 für n\ne ni ist. Darin sind verschiedene ältere Ergebnisse ganz oder teilweise enthalten (vgl. z.B. Ref., Zbl 024.02901; Zbl 028.21801). Daß die Aussage ziemlich versteckt liegt, zeigen die erforderlichen längeren Abschätzungen. Unbewiesen bleibt Satz 2: Ist die Reihe (1) E-summierbar, so ist sie konvergent, wenn es eine Zahl \lambda > 0 und eine Indexfolge ni gibt, so daß ni+1-ni > \lambda \sqrt{ni} und an = 0 für n \ne ni ist. Der Verf. bemerkt jedoch, daß Satz 2, falls überhaupt gültig, hinsichtlich der Lückenlänge bestmöglich ist.
Inzwischen konnte gezeigt werden, daß Satz 2 richtig ist [s. die Arbeit des Ref. in Math. Z. 57, 351-352 (1953; Zbl 050.06801)].
Reviewer: W.Meyer-König
Classif.: * 40E05 Tauberian theorems, general
40G05 Traditional summability methods
Index Words: series, summability
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