Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 047.04602
Autor: Erdös, Pál; Mirsky, L.
Title: The distribution of values of the divisor function d(n). (In English)
Source: Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 2, 257-271 (1952).
Review: Sei d(n) die Anzahl der Teiler der natürlichen Zahl n, D(x) die Anzahl der verschiedenen d(n) für 1 \leq n \leq x. Die Verff. zeigen log D(x) ~ {2\pi \sqrt 2 (log x) ½ \over \sqrt 3 log log x}. (1) Sei B(x) die Anzahl derjenigen Zahlen \leq x, die von der Form
p1q1-1 p2q2-1··· pkqk-1 sind, wo p und q Primzahlen bedeuten. Die Verff. zeigen
D(x)-B(x) > c1 log log log x, (2)
{D(x) \over B(x)} = 1+O({(log log x)2 \over (log x)1/3} ). (3) Sei F(x) die größte Zahl k, für die es ein n gibt mit: n+k \leq x und alle d(n+1),...,d(n+k) voneinander verschieden. Es wird gezeigt
F(x) > c2 {(log x) ½ \over log log x} und vermutet: F(x) ist von der Ordnung (log x)c4. Sei \lambda (x) die kleinste ganze Zahl, die nicht = d(n) für ein n mit 1 \leq n \leq x. Es gilt: Für x \geq 6 ist \lambda (x) die kleinste Primzahl q mit 2q-1 > x. Die Verff. vermuten: Es gibt unendlich viele n mit d(n) = d(n+1).
Bem. d. Ref.: Mit einer Methode von A.Renyi (Zbl 038.18601) folgt: Es gibt ein k und unendlich viele n mit d(n) = 2, d(n+1) = k. Wenn es unendlich viele Primzahlzwillinge n,n+2 gibt, so ist für sie d(n) = d(n+2) = 2.
Reviewer: K.Prachar
Classif.: * 11N64 Characterization of arithmetic functions
Index Words: number theory
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