Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 038.18106
Autor: Selberg, Atle; Erdös, Pál; van der Corput, J.G.
Title: Démonstration élementaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. (Elementary proof of theorem about the distribution of prime numbers.) (In French)
Source: Scriptum, Math. Centrum, Amsterdam 1948, No.1, 32 S. (1948).
Review: Dieses hektographierte Heft ist von J. G. van der Corput nach Vorlesungen von P. Erdös, gehalten im Jahre 1948 in Amsterdam, abgefaßt; das war die erste im Druck erschienene Mitteilung des elementaren Beweises des Primzahlsatzes \pi(x) ~ {x \over ln x} (\pi(x) = Anzahl der Primzahlen \leq x) (1) von A.Selberg und P.Erdös. [Seitdem sind die Arbeiten von A. Selberg (Zbl 036.30603; Zbl 036.30604; Zbl 036.30605) und von P. Erdös (Zbl 034.31403) erschienen.] "Elementar" heißt hier, daß die Methoden der höheren Analysis nicht benützt werden und insbesondere der Satz \zeta (1+it) \ne 0 für t \ne 0 reell, welche dem Primzahlsatz im gewissen Sinne äquivalent ist, nicht vorausgesetzt wird. Lange Zeit dachte man, daß dies unmöglich ist; die hervorragende Leistung von A. Selberg und P. Erdös war eine große Überraschung.
Der Beweis besteht aus zwei Teilen:
1. Beweis der Formel von A. Selberg:
\theta(x) ln x+2 sump \leq x+2 sump \leq x \theta ( x/p ) ln p ~ 2x ln x+o (x ln x), (2) wo \theta = sump \leq x ln p und p über Primzahlen läuft.
[In der Tat hat Selberg auch gezeigt, daß statt o(x ln x) auch O(x) gilt, aber das ist für den Beweis von (1) nicht nötig.]
Der Beweis von (2) beruht auf den folgenden Formeln: einerseits ist
\theta(x) ln x+2 sump \leq x \theta ( x/p ) ln p = summ \leq x f(m)+O(x ln x), wo f(m) = sumd/m \mu(d) ln2 x/d ; anderseits erhält man durch leichte Umformung
summ \leq x f(m) = x sumd \leq x {\mu (d) \over d} ln2 x/d +o(x ln x) und endlich
sumd \leq x {\mu(d) \over d} ln2 x/d = 2 ln x+o (ln x).
2. Der zweite Teil des Beweises besteht vom Schluß aus (2) zu (3) limx ––> oo {\theta(x) \over x} = 1, was bekanntlich mit (1) äquivalent ist. Dieser Schluß ist vom Typus eines "nichtlinearen" Tauberschen Satzes (und erinnert etwas an den Satz von Mercer); in der Tat hat seitdem P. Erdös in einer anderen Arbeit (Zbl 034.31501) einen allgemeinen Tauberschen Satz bewiesen der den obigen Schluß enthält. Der Anteil der beiden Mathematiker an dem zweiten Teil des Beweises (der erste Teil ist ausschließlich von Selberg gefunden) ist in der vorliegenden Arbeit nicht erörtert; aus der Arbeit von Erdös (a.a. O.) erfahren wir, daß, nachdem Selberg (2) bewiesen und Erdös mitgeteilt hatte, Erdös, von (2) ausgehend, die Relation limn ––> oo pn+1/pn = 1 (pn bedeutet die n-te Primzahl), und noch mehr, nämlich, daß für jedes \epsilon > 0
\pi((1+\epsilon)x) - \pi(x) > {K(\epsilon) x \over ln x} mit K(\epsilon) > 0 gibt [aber nicht (1) bzw. (3), elementar bewiesen und seinen Beweis Selberg mitgeteilt hat; die Gedanken von Erdös benutzend und weiterentwickelend hat Selberg (3) bewiesen; später haben Selberg und Erdös den Beweis von Selberg noch vereinfacht.
Der zweite Teil des Beweises operiert wie folgt: es kann elementar bewiesen werden, daß a = liminf \theta(x)/x > 0 und A = limsup \theta(x)/x < oo (Sätze von Tchebyscheff). Aus (2) folgt erstens, daß a+A = 2, weiter wird folgendes "Kompensationsprinzip" angewandt: wenn für ein x \geq x0\theta(x) "groß", d.h. nahezu Ax ist, so muß für die "meisten" p < x \theta(x/p) "klein" (d.h. nahezu a x/p) sein; wenn aber \theta(x/p) für nicht zu großes p < x "klein" ist, so erhält man durch nochmalige Anwendung desselben Kompensationsprinzips, daß \theta(x/pq) (q prim) für die "meisten" q < x/q "groß" (d.h. nahezu A a/pq) ist. Auf diesem Weg wird die Unmöglichkeit von A \ne a und somit A = a = 1 bewiesen, was mit (3) bzw. (1) äquivalent ist: für die Details des Beweises muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.
Reviewer: A.Rényi (Budapest)
Classif.: * 11N05 Distribution of primes
Index Words: Number theory
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