Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 034.07201
Autor: Erdös, Pál
Title: On the strong law of large numbers. (In English)
Source: Trans. Am. Math. Soc. 67, 51-56 (1949).
Review: f(x) = f(x+1) besitze in (0,1) den Mittelwert Null sowie die Streuung Eins und (nk) sei eine Folge von natürlichen Zahlen mit nk+1/nk > c > 1. Die Frage, welche Bedingung das sog. starke Gesetz g = limN ––> oo sumk = 1N f(nk x)/N = 0 für fast alle x sichert, ist von Kac, Salem, Zygmund unlängst mit den n-ten Teilsummen Sn(x) der Fourierreihe von f(x) bei \epsilon > 0 durch
A = int01 (f(x)-Sn(x))2 dx = O(1/(log n)\epsilon) beantwortet worden. Hier wird gezeigt, daß sich diese Bedingung zu der nicht endgültigen A = O((log2 n)2+\epsilon) abschwächen läßt. Wenn auch bei nk = 2k der Grenzwert g = 0 sich nach Raikov für jede Funktion f(x) ergibt, muß sonst der Funktion f(x) irgendeine Bedingung auferlegt werden. Es wird nämlich gezeigt, daß für eine unbeschränkte Funktion f(x) bei geeigneter Folgen (nk) sich
limsupN ––> oo sumk = 1N f(nkx)/N = oo ergibt. Die Möglichkeit von g = 0 bei allen beschränkten f(x) bleibt offen. Bezüglich der richtigen Größenordnung von A und des Divisors in g werden Vermutungen angegeben.
Reviewer: Szentmártony (Budapest)
Classif.: * 60F15 Strong limit theorems
Index Words: Probability theory
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