Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 033.29001
Autor: Erdös, Pál
Title: On a theorem of Hsu and Robbins. (In English)
Source: Ann. Math. Statist., Baltimore Md. 20, 286-291 (1949).
Review: P.L.Hsu und H.Robbins zeigten (Zbl 030.20101), daß, wenn die Xn identisch verteilte Zufallsveränderliche mit dem Mittelwert Null sind, für sumn = 1oo P[|(X1+···+Xn)/n| > \epsilon] < oo bei allen \epsilon > 0 die Endlichkeit der Streuung hinreichend ist. Die Notwendigkeit dieser Bedingung konnten sie aber nur vermuten. Dies gelang dem Verf. zu zeigen.
Gestützt auf Bemerkungen von Chung wird genauer folgender Satz bewiesen: Besitzen die über einen meßbaren Raum mit dem Gesamtmaß Eins meßbaren Funktionen f1(x), f2(x),... dieselbe Verteilungsfunktion G(t) = m(x; fk(x) \leq t), dann sind bei sn(x) = sumk = 1n fk(x) für sumn = 1oo m(x; |sn(x)| > n) < oo die Bedingungen |int- oooo t dG(t) | < 1, int-oooo t2 dG(t) < oo notwendig und hinreichend. Durch ähnliche Methoden soll Verf. auch zeigen können, daß für sumn = 1oo m(x; |sn(x)| > n2/c) < oo bei c < 2: int-oooo |t|c dG(t) < oo und bei 2 < c < 4 außerdem int-oooo td G(t) = 0 notwendig und hinreichend ist. Ferner, daß es beim Mittelwert Null und endlichem vierten Moment eine Konstante r gibt, bei welcher
sumn = 1oo m[x; |sn(x)| > n ½ (log n)r] < oo wird.
Reviewer: Szentmártony (Budapest)
Classif.: * 60D05 Geometric probability
Index Words: Probability theory
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