Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 032.06503
Autor: Erdös, Pál; Fried, K.
Title: On the connection between gaps in power series and the roots of their partial sums. (In English)
Source: Trans. Am. Math. Soc. 62, 53-61 (1947).
Review: Das Funktionselement (1) f(x) = 1+a1 x+···+anxn+··· besitze den Konvergenzradius 1. Gibt es ein positives \rho < 1 und zwei Indexfolgen mk, nk mit mk < nk, limk ––> oo nk/mk > 1 und |an| < \rhon für mk \leq n \leq nk, so werde gesagt, (1) besitze Ostrowskische \rho-Lücken, kurz Ostrowskische Lücken. Gibt es ein positives \rho < 1, so daß zu jedem \rho' > \rho zwei (von \rho' abhängige) Indexfolgen mk, nk mit mk < nk, limk ––> oo nk/mk = oo und |an| < {\rho'}n für mk \leq n \leq nk vorhanden sind, so werde gesagt, (1) besitze unendliche Ostrowskische \rho- Lücken. Mit A(n,r) werde die Anzahl der im Kreis vom Radius r um den Ursprung gelegenen Wurzeln der Gleichung (2) 1+a1 x+···+anxn = 0 bezeichnet.
Es gilt [vgl. G. Bourion, Actual. Sci. Industr. No. 472, Paris 1937; Zbl 017.31302]: (I) Dann und nur dann besitzt (1) Ostrowskische Lücken, wenn es ein r > 1 gibt, so daß liminfn ––> oo n-1 A(n,r) < 1 ist. Die Verff. geben dafür einen neuen Beweis und leiten dazu den Hilfssatz her. Ist 0 < \rho < 1 < r < 1/\rho, dann gibt es eine positive Konstante c = c(r,\rho), so daß jede Gleichung (2) mit |ak| < \rhok für m \leq k \leq n mindestens c(n-m+1) Wurzeln außerhalb des Kreises vom Radius r um den Ursprung besitzt.
Weiter wird bewiesen: (II) Ist 0 < \rho < 1, so besitzt (1) dann und nur dann unendliche Ostrowskische \rho-Lücken, wenn liminfn ––> oo n-1 A(n,r) = 0 ist für alle r < \rho-1. Der Beweis beruht auf dem folgenden Hilfssatz: Besitzt (1) Ostrowskische \rho-Lücken und ist \epsilon > 0 so gilt liminfn ––> oo nk-1 A (nk,r) \leq \sigma+\epsilon für jedes r < \rho-\lambda mit \lambda = \epsilon(\sigma+\epsilon)-1, \sigma = limk ––> oo mk/nk.
Zum Schluß wird noch bemerkt, daß sich nach P. Turán der erste der beiden Hilfssätze aus einem Satz von van Vleck ableiten läßt.
Reviewer: Meyer-König (Stuttgart)
Classif.: * 30B10 Power series (one complex variable)
Index Words: Complex functions
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