Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 032.01301
Autor: Erdös, Pál
Title: On the density of some sequences of integers. (In English)
Source: Bull. Am. Math. Soc. 54, 685-692 (1948).
Review: A = { a1,a2,...} sei eine Menge wachsend geordneter, positiver ganzer Zahlen, und für alle n > 0 und alle k > 0 sei an \nmid an+k. Die Menge B = {b1,b2,...} bestehe aus allen positiven ganzen Zahlen, die durch mindesten ein an teilbar sind. \phi (n; x; y1,y2,...,ym) bezeichne die Anzahl der positiven ganzen Zahlen c \leq n, die durch x aber nicht durch y1, y2,...,ym teilbar sind. Der Verf. beweist, daß B dann und nur dann eine Dichte besitzt, wenn (1) lim\epsilon ––> 0limsupn ––> oo 1/n sumn1 - \epsilon < ai \leq n \phi(n; ai; a1,a2,...ai-1) = 0 ist. Diese Bedingung ist speziell erfüllt, wenn für die Anzahlfunktion B(n) der Menge B stets B(n) < cn/ log n gilt, was, wie der Verf. weiter zeigt, im folgenden Sinn sogar schon genau ist: Es sei limn ––> oo \psi(n) = oo. Dann gibt es eine solche Menge A, daß zwar B(n) < \psi(n) n/ log n ist, B jedoch keine Dichte besitzt.
Aus (1) folgt weiter, daß stets die Dichte einer solchen Menge existiert, die alle Zahlen enthält, die durch zwei gegebene Zahlen d1,d2 mit d1 < d2 \leq 2 d1 teilbar sind. Am Schluß werden noch einige ungelöste Fragen erwähnt.
Reviewer: Ostmann (Marburg)
Classif.: * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
11B05 Topology etc. of sets of numbers
Index Words: Number theory
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