Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  025.10703
Autor:  Erdös, Paul; Lehner, Joseph
Title:  The distribution of the number of summands in the partitions of a positive integer. (In English)
Source:  Duke Math. J. 8, 335-345 (1941).
Review:  n bedeutet stets eine natürliche Zahl. p(n) ist die Anzahl der verschiedenen Zerlegungen von n in ganze positive Summanden. Zerlegungen, die sich nur in der Reihenfolge der Summanden unterscheiden, werden stets als identisch angesehen. pk(n) ist die Anzahl derartiger Zerlegungen in höchstens k Summanden. P(n) ist die Anzahl der Zerlegungen von n in lauter verschiedene Summanden. Ferner seien C = \pi\sqrt{2/3}, D = \pi\sqrt{1/3}. Nach Hardy und Ramanujan [Asymptotic formulae in combinatory analysis; Proc. London Math. Soc. 17, 75-114 (1918)] ist

p(n) ~ 4-1 3- 1/2 n-1 \exp (C \sqrt n),     (1)

P(n) ~ 4-1 3- 1/4 n- 3/4 \exp (D \sqrt n).    (2)

Hier werden folgende Ergebnisse mitgeteilt:
I. Für k = C-1n^ 1/2 log n+xn^ 1/2 (x\gtreqqless 0 fest) ist

limn ––> oo {pk(n) \over p(n)} = \exp (- 2/C e- 1/2 Cx ).

Daraus folgt insbesondere, indem man x gegen +oo und -oo streben läßt: für "fast alle" Zerlegungen von n ist die Anzahl der Summanden asymptotisch gleich C-1n 1/2 log n.
II. Analog: für fast alle Zerlegungen von n in verschiedenen Summanden ist die Anzahl der Summanden ~ 2D-1 \sqrt {n log 2} (noch etwas schärfer in Theorem 3.1).
III. Für fast alle Zerlegungen von n (in beliebige Summanden) ist die Summe bzw. die Anzahl der verschiedenen Summanden ~ 6 \pi-2n bzw. ~ 2 C-1 \sqrt n.
IV. Für kleine k gilt: es ist pk(n) ~ {1 \over k!}{n-1 \choose k-1}, gleichmäßig für k = 0(n^ 1/3).
I. wird mit Hilfe von (1) bewiesen; der Zusammenhang mit (1) wird durch die Identität

pk(n) = p(n)-sum1 \leq r \leq n-k p(n-k-r)+sum \Sb{1 \leq r1 < r2}
{r1+r2 \leq n-2k}\endSb p(n-2k-r1-r2)+···

geliefert, in welcher die Partialsummen rechts abwechselnd obere und untere Schranken für pk(n) liefern.
Analog ist der Beweis von II, nur erfordert hier die Herstellung des Zusammenhanges mit (2) wesentlich mehr Scharfsinn. Der Beweis von II wird nur in seinen Hauptzügen gegeben; Dem Ref. scheint es, daß bei Theorem 3.1. \exp (-Dx) durch \exp(- 1/2 Dx) ersetzt werden soll: weiter gilt (3.73) nur für u1 \ne u2, die Glieder mit u1 = u2 geben aber nachher in (3.74) nur einen unbedeutsamen Betrag.
III wird ohne Beweis mitgeteilt.
Der Beweis von IV ist rein elementar, benutzt also nicht die mit analytischen Hilfsmitteln bewiesenen Abschätzungen (1) und (2).
Reviewer:  Jarnik
Classif.:  * 11P81 Elementary theory of partitions
                   11P82 Analytic theory of partitions
Index Words:  Number theory

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