Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  024.39102
Autor:  Erdös, Paul; Turán, Pál
Title:  On interpolation. III: Interpolatory theory of polynomials. (In English)
Source:  Ann. of Math., II. Ser. 41, 510-553 (1940).
Review:  Nach einem von Fejér eingeführten Prinzip erhalten die Verff. mehrere Sätze, die sich auf eine Polynomfolge

\omegan(x) = prod\nu = 1n (x-x\nu(n))

beziehen, deren sämtliche Wurzeln im Intervalle (-1,+1) liegen. Sie werden aus vorausgesetzten Eigenschaften der zur Dreiecksmatrix (x\nu(n)) gehörigen Grundpolynome

l\nu,n(x) = {\omegan(x) \over \omega'n (x\nu(n) (x-x\nu(n))}

gewonnen. Gilt z. B. in der ganzen komplexen z-Ebene mit Ausnahme des reellen Intervalles (-1,+1) bei beliebigem \epsilon > 0 und für genügend großes n für alle \nu

|l\nu,n(x)|^ 1/n \leq 1+\epsilon,

so gilt

limn ––> oo [\omegan(z)]^ 1/n = 1/2 (z+\sqrt{z2-1}).    (1)

Weitere Ergebnisse beziehen sich auf die Abschätzung des Abstandes zweier aufeinanderfolgender Wurzeln von \omegan(x) und auf die Verteilung dieser Wurzeln in einem in (-1,+1) gelegenen Intervall (\alpha,\beta). Diese Sätze gelten unter gewissen Einschränkungen insbesondere für die stark normalen Folgen im Sinne von Fejér und für Folgen von Orthogonalpolynomen in (-1,+1) bezüglich einer Lebesgue-integrierbaren Gewichtsfunktion p(x). Für diese gilt z. B. (1), wenn p(x) nicht negativ ist und ihre Nullstellen eine Menge vom Maß 0 bilden. Nicht vom Fejérschen Typ sind einige weitere Sätze, die Abschätzungen für |\omegan(x)| nach oben und nach unten liefern.
Für die Teile I und II vgl. Zbl 016.10604 und Zbl 019.40402.
Reviewer:  C.Miranda (Torino)
Classif.:  * 41A05 Interpolation
                   42A15 Trigonometric interpolation
Index Words:  Approximation of functions, orthogonal series developments

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

Books Problems Set Theory Combinatorics Extremal Probl/Ramsey Th.
Graph Theory Add.Number Theory Mult.Number Theory Analysis Geometry
Probabability Personalia About Paul Erdös Publication Year Home Page