Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 024.00403
Autor: Erdös, Pál
Title: On extremal properties of the derivatives of polynomials. (In English)
Source: Ann. of Math., II. Ser. 41, 317-313 (1940).
Review: Das Polynom n-ten Grades f(x) genüge im Intervall J: -1 \leq x \leq +1 der Ungleichung |f(x)| \leq 1. Nach A. Markoff [Abh. Akad. Wiss. St. Petersburg 62, 1-24 (1889)] gilt dann in J: |f'(x)| \leq n2, und die Gleichheit wird durch die Tschebyscheffpolynome erreicht. Macht man nun die weitere Voraussetzung, daß f(x) nur reelle Wurzeln besitzen und J frei von Wurzeln sein soll, so kann der Verf. durch elementare Abschätzungen die schärfere Ungleichung |f'(x)| < 1/2 en beweisen, in der e durch keine kleinere Konstante ersetzbar ist. Legt man hingegen dem reellem Polynom f(x), für das in J: |f(x)| < 1 gilt, die Zusatzbedingung auf, daß f(x) keine Wurzeln im Innern des Einheitskreises haben soll, so läßt sich die Markoffsche Ungleichung folgendermaßen verbessern: Es ist für -1+c < x < 1-c, c > 0: |f'(x)| < {4 \over c2} \sqrt n bei genügend großen Werten von n: \sqrt n kann dabei durch keine langsamer wachsende Funktion von n ersetzt werden.
Reviewer: Harald Geppert (Berlin)
Classif.: * 26D05 Inequalities for trigonometric functions and polynomials
26C05 Polynomials: analytic properties (real variables)
Index Words: Linear algebra, polynomials
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