Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 022.35403
Autor: Erdös, Paul
Title: On the smoothness properties of a family of Bernoulli convolutions. (In English)
Source: Amer. J. Math. 62, 180-186 (1940).
Review: Se \beta (x) è una funzione che vale 0 per x \leq -1, 1/2 per -1 < x \leq 1, 1 per x > 1, si ha, per la sua trasformata di Fourier-Stieltjes, L(u,\beta (x)) = int-oooo eiux d\beta = \cos u e quindi L(u,\beta (bx)) = \cos u/b . L'autore considera l'infinita convoluzione
\sigmaa(x) = \beta (\alpha , x)*\beta (a2 x)*..., la quale converge per a > 1 ed ha per trasformata di Fourier-Stieltjes
L(u,\sigmaa) = prodn = 1oo \cos ({u \over an}), e dimostra il teorema: ``Per ogni intero positivo m, esiste un \delta = \delta (m) tale che l'insieme dei punti dell'intervallo 1 < a < 1+\delta (m) per cui non vale la relazione
L(u,\sigmaa) = \rho(|u|-m), u ––> oo è di misura nulla''. Tale teorema basta per provare che, per lo stesso m, si può determinare \eta (m) > 0 tale che l'insieme dei punti dell'intervallo 1 < a < 1+\eta (m) per cui \sigmaa (x) non possiede derivata continua di ordine m-1 è di misura nulla.
Reviewer: L.Amerio
Classif.: * 45E10 Integral equations of the convolution type
Index Words: Integral equations, integral transforms
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag