Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 022.35402
Autor: Erdös, Paul
Title: On a family of symmetric Bernoulli convolutions. (In English)
Source: Amer. J. Math. 61, 974-976 (1939).
Review: Sei die reelle Funktion \beta(x) = 0, ½ ,1 (-oo < x <+oo), je nachdem x < -1, |x| \leq 1, x > 1 ist und 0 < a < 1 eine reelle Zahl. Es sei \lambda(x,a) die unendliche Bernoulli-Faltung \lambda(x,a) = \beta(x/a)^* \beta(x/a2)^*...; (-oo < x <+oo) wenn L(a,t) ihre Fourier-Stieltjes-Transformation ist, gilt
L(a,t) = int-oo+oo eitx d\lambda(x,a) = prodn = 1oo \cos(ant). (-oo < t <+oo) Bekanntlich ist \lambda(x,a) rein singulär, wenn 0 < a < ½ ist (d.h. fast überall gilt d\lambda/dx = 0), und also ist \lambda(x,a) nicht absolut stetig (R. Kerschner, Zbl 013.30002). Wenn jedoch a = ½, (½) ½, (½)1/3,...(½ \leq a \leq 1) ist, ist \lambda(x,a) absolut stetig (A. Wintner, Zbl 013.25701).
Der Verf. beweist, daß unendlich viele Werte a(½ < a < 1) existieren, für die \lambda(x,a) rein singulär ist. Besonders trifft das für alle Zahlen a = {1 \over \alpha}, \alpha > 1, |\alphaj| < 1 zu, wo \alpha eine reelle, algebraische, ganze Zahl n-ten Grades ist (\alphaj, j = 2,3,...,n die \alpha assoziierten Zahlen). Außerdem wird noch das Verhalten von L(a,t) für t ––> oo betrachtet.
Reviewer: L.Cesari (Pisa)
Classif.: * 45E10 Integral equations of the convolution type
Index Words: Integral equations, integral transforms
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