Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 019.10404
Autor: Erdös, Paul
Title: On the asymptotic density of the sum of two sequences one of which forms a basis for the integers. II. (In English)
Source: Trav. Inst. Math. Tbilissi 3, 217-223 (1938).
Review: Die asymptotische Dichte \deltaa einer Folge (a) ganzer Zahlen: a1 < a2 < ··· sei durch \deltaa = liminfn ––> oo 1/n sumam \leq n 1 definiert. Durch elementare metrische Betrachtungen zeigt der Verf.:
I. Ist \deltaa die asymptotische Dichte einer Folge (a) natürlicher Zahlen: A0 = 0, A1 < A2 < ··· eine Folge (A) ganzer Zahlen; gehört zu jedem \epsilon > 0 ein solches M, daß jedes ganze m \geq M als Summe von höchstens l Summanden ± Ai darstellbar ist, wobei der absolute Betrag jedes negativen -Aj kleiner als \epsilon m ist. Ist schließlich \delta'a die asymptotische Dichte der Folge (a+A), d.h. der Folge aller Zahlen ai+Aj, so ist \delta'a \geq \deltaa+{\deltaa (1-\deltaa) \over 2l}. II. Es sei a0 = 0, a1 = 1 < a2 < ··· eine ganzzahlige Folge (a) der asymptotischen Dichte \deltaa \leq 1/2 , so ist die asymptotische Dichte der Folge (a+a) mindestens gleich 3/2 \deltaa.
II ist unverbesserbar, wie das Beispiel a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 5, a4 = 8, a5 = 9, ... zeigt.
I wendet der Verf. auf eine Frage der additiven Primzahltheorie an.
Teil I siehe Zbl 013.15001.
Reviewer: A.Walfisz (Tiflis)
Classif.: * 11B13 Additive bases
11B05 Topology etc. of sets of numbers
Index Words: Number theory
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag